數學之前人人平等:我們都有數學天分,只缺正確的開導和信心
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目錄

導言

第一部為什麼是數學?

第一章 99%的解答

第二章數學不合理的有效性

第三章因為你的答案是對的

第四章策略、架構與耐力

第二部把研究付諸實踐

第五章學習的科學

第六章成功心理學

第七章創造力的關鍵

第八章極度平等

附錄

許可

參考資料

試閱內容

我希望在這本書裡所提供的例子能給予你信心,相信利用數學版的刻意練習,可以訓練學生像數學家一樣思考。不過,雖然我主張學生解答西洋棋問題的訓練就類似於他們解答數學競賽試題的訓練,但我認為,數學的刻意練習有四個特點與其他大部分領域的這類練習不同。這些不同之處,也讓數學的刻意練習格外讓人感到興奮。

一、人們透過刻意練習發展的許多技能(艾瑞克森在《刻意練習》述及)並不能廣泛轉移。舉例來說,使用記憶法來記住一長串數字,並不會讓我們記憶力變好。同樣的,由職業高球員指導來修正某人的扭腰動作,某人也不會搖身一變就成了全能運動員。相對之下,當學生學會做數學式的思考,他們學到的概念和思維方式基本上可以應用在每個科目或是每項職業。

二、有些透過刻意練習發展的技能,必須從很早的年齡開始。舉例來說,榊原彩子(我們在第四章提過)發現她訓練完美音感的方法,只對七歲以下的學生有效果。不過在我的教學或是我研讀過的認知科學研究中,我並沒有看到關於學習數學年齡限制的資料。我一直到三十歲才開始攻讀大學的數學課程。雖然起步較晚有些壞處,但是它也有些好處,因為成年人比孩童更能夠專心、也更有紀律。這代表著,即使是成年人也有把數學變得拿手的希望,或者,至少我們只需花相對較小的努力,就能具備數學能力。

三、在《刻意練習》書中,艾瑞克森之處刻意練習可能會枯燥、艱辛、且需花費大量時間。當人們投入刻意練習時,並不會從教練身上得到反饋,他們往往要花很多的時間獨自精煉他們的技能,這可能讓人們感覺孤單和受孤立。這也是平常人不大可能運用刻意練習來學習任何事物的原因之一。不過,數學的刻意練習在團體進行最理想,學生們可以融入同儕們的高昂學習情緒中。當學生們在團體中學習數學,他們會覺數學很有趣,而不會很枯燥難熬。除此之外,人們需要在學校上很多年的數學課。因此刻意學習妨礙大部分人成為好的西洋棋手或高球選手的一些障礙,並不會阻礙他們把數學學好。

四、在某些領域裡,我們的體能和腦力可能對刻意學習構成嚴格的局限。一個矮個子的人,可能無法成為偉大的籃球員(雖然NBA 職籃裡還是有一些知名的例外)。遺傳的因素可能對數學成就有些影響,不過即便如此,我認為它的影響並不是太顯著。教育者的主要問題是:我們要如何協助人們發展投入數學刻意學習的動機和毅力?愛因斯坦說他的成功不是因為他比其他科學家更聰明,而是因為他與問題纏鬥的時間比較久。

許多人相信新的教育科技,像是以平板電腦為基礎的課程和評量,是學校成績顯著改善的最佳希望。我毫不懷疑科技最終將為教育帶來正面的影響,不過以目前而言,關於這些課程干預效果的實驗結果正反不一。在我們過度投資在新科技之前,最好還是先進行嚴謹的研究,來分辨它究竟是真正的創新,或只是一時的熱潮。否則我們有可能重蹈過去的錯誤,大規模採用昂貴而擅長行銷包裝的教科書,但實際上並沒有多少證據可佐證教材採用的作法有效。

我們應該小心,別讓新科技必然帶來的刺激感模糊了焦點,否則我們可能忽略較廉價也更實用、而且如今已可取得的解決方案。莫若在她的課堂裡創造出非凡的成果,靠的也只是紙跟筆。

科技的鼓吹者往往會主張新科技最終讓教育可以「量身訂制」和「個人化」,因而讓學生們可以按照自己的步驟來前進。不過,要是絕大部分學生都能以大致相同的步調進展呢?我們一味追求個人化的教育,會不會反而妨礙我們引導學生們在相同時間、學習相同事情所享受到非比尋常的歡樂和興奮?這些是我們決定哪些教學方式對學生最有好處之前,需要透過嚴謹的研究去解答的問題。

許多人對「混成學習」(blended learning)提供的承諾感到興致勃勃,這個利用電腦的教學方式因學生們在學校裡可以有很多時間接受電腦教學(有時候可自行選擇課程進行方式)而流行起來。儘管這些課程還沒有進行太多嚴謹的檢驗,它們已經被媒體形容為促成學校轉型,改變遊戲規則的創新。我相信這些方法背後的一些預設(特別就短期而言),可能和促使學校廣泛採用探索式教學的那些預設一樣存在著一些問題。這些預設雖然看似進步、可為學生培養能力,但可能存在混成學習的倡導者未預見的缺點。底下我提出幾個我憂心的問題。它們或許不難處理,但是至少值得好好思考。

個人化學習的一個缺點是,人們在選擇他們認為有效率的學習方法時,常常會做出差勁的判斷。如心理學家羅迪格和麥克丹尼爾解釋的:「由於我們易於陷入幻想和誤判,所以我們都應該停下腳步思考,特別是那些『學生導向學習法』的倡導者……。運用最沒有效率的學習策略的學生,最容易高估他們的學習,其結果是他們受誤導的信心讓他們更難去改變習慣。」103 初學者不只是容易選擇無效率的學習法,他們往往也沒有能力了解,要專精某個領域該具有什麼樣的知識和技能。

另一個個人化學習的缺點是,以平板電腦為基礎的教學課程(目前為止)並不具備人工智慧。因此,當學生無法回答問題或理解電腦提供的解釋時,就需要老師介入。但是研究顯示,許多教師並不擅長解釋數學概念、評估學生的知識、或是對有困難的學生提供補救教學⸺即使教室裡所有的學生進行的是同一套課程。也正因為如此, JUMP 製作詳細而且嚴謹搭建支架的課程計畫,一次只專注一個主題,因此教師在教學的同時也可以深度學習數學。在教室裡,當學生們同時進行許多不同的主題且電腦又不具有人工智慧時,即使是在小班級裡,一般的老師也不大可能進行有效的干預。

如果教室裡每個學生是在電腦上進行不同的主題,老師也不容易創造團體的興奮情緒,或是我在第六章所描述的「集體歡騰」的情況。這種興奮情緒有助學生大腦運作的更好,這對學習非常重要。

我認為就短期而言,在教室裡科技最好的使用方式,是將教師(而不是科技)放在課程的中心,並且讓學生用相同教材以同樣進度邁進,而不是讓他們各自進行個別的主題。在這種模式裡,科技主是用來幫助教師更有效率,幫他們在當下能更快評估學生理解的情況,並為每個學生提供量身定製的加分題(避免學生必須接觸全新的主題,或是打斷班上集體興奮的情緒)。科技也可以讓學生做更多的複習,或是在學習相同核心課程的同時,可以自行探索更豐富的主題。科技甚至可為教師們提供專業的發展(透過互動的課程計畫、影片、和教學指導),並協助學校體系更快傳遞經過紮實研究的教學方法。JUMP 數學課程計畫可供教師在互動數位白板(SMART 與Promethian 白板)使用,我們也計劃要將學生的資源數位化。

許多好的個人化線上課程已經可幫助成人學習新技能,或讓有動機的學生自主學習新的科目。隨著個人化學習課程越來越有效率,它們最終或許可取代教師,或是以我們目前難以想像的方式來幫助教師工作。不過在這些課程有重大進展之前,我們最好還是先對它們進行嚴謹的測試後,再廣泛在課堂上實施。

摘錄自《第八章極度平等》

商品簡介

雲端運算、大數據、人工智慧當道

我們再也經不起對數學一無所知

JUMP 數學創辦人約翰.麥登(John Mighton),曾獲世界教育創新獎(WISE Awards),20年來他成功培育成千上萬不同年齡層的學生。他指出,我們的社會嚴重低估小孩和大人們的數學潛能,數學其實是多數人(而非少數特權人士)擁有的天分。

麥登認為目前教學現場所使用的方法往往非常無效率,反而對學習者造成「認知過載」的問題。若能按照設計良好、逐漸增加難度的順序去探索和理解數學概念,學數學可以讓人格外興奮,而且不受限於智商或年齡。JUMP數學觀念讓一般人花短短一到二星期就像在「加強班」中打好基礎。無論是整數和分數的運算,或然率、比率、百分比的理解,簡單的代數運算、基礎統計術語與估算──這些數學能力是具生產力的公民最基本的要求。

他認為數學可為我們提供強大的思維工具,我們因此學會觀察模式、邏輯思考、感知風險、進行類比、理解因果關係以及許多其他關鍵的生活技能。可惜長久以來,我們的社會預期學生之間會有很大的數學成績落差,許多成年人甚至沒有配備這些關鍵的能力。如果能第一手體驗數學提升想像力和豐富生命的多樣方式,我們的世界可以更加文明,更有生產力,也更加公平。

作者簡介

約翰.麥登 John Mighton

數學家、作家和JUMP數學創辦人,致力於幫助人們發揮數學潛能。約翰.麥登因其成就而獲得五個榮譽博士學位,並獲得加拿大勳章。他還是一位屢獲殊榮的劇作家,曾獲得著名的西米諾維奇劇院獎,兩次總督戲劇文學獎、朵拉獎和查默斯獎。現居於多倫多。

作者自序

我從很早就對自己的智力和學習方法感到著迷。我從二十幾歲開始教書,一開始是以研究生的身分教哲學課,之後成為小學數學老師,也對別人的學習方法感到興趣。如今,我已經教導過成千上萬個不同年齡的學生數學和其他科目,也讀過不少教育和心理學的研究,我確信我們的社會嚴重低估了小孩們和大人們的智力潛能。

在大學時期,我在寫作和數學一樣看不出有太多希望:我在寫作課拿了B+⸺全班最低的成績。在我就讀哲學研究所第一年的某天晚上,我讀到詩人席薇亞.普拉絲(Sylvia Plath)的書信集,這是我照顧姊姊的小孩時在我姊的書架上發現的書。從普拉絲的書信和早期的詩作可以發現,她曾經純粹靠著決心意志教自己寫詩。她在青少年時期學習了所有關於詩的韻律和形式。她寫作十四行詩和六節詩,背誦同義字典和神話。她也仿作了幾十篇她所喜愛的作品。

我知道普拉絲被視為是同時代最有原創性的詩人,因此我很驚訝她自己學習創作的過程竟是如此機械化且缺乏啟發性。從小到大我一直以為,如果某個人天生是作家或是數學家,那麼形式完整而意義深遠的句子或是方程式會自然從他們腦中湧出。我曾坐在空白的紙頁面前幾個小時,等待有趣的事自動出現,但這從未發生過。讀了普拉絲的書信之後,我開始期待,也許我能找到可循的途徑來發展自己的一家之言。

在我轉向劇本寫作之前,有好幾年時間我一直在模仿普拉絲和其他詩人的作品。在這段時候,我找了家教班的工作來補貼寫作的收入。家教中心的女性負責人要我教數學,因為我在大學曾修過微積分(但我忘了告訴他們我的分數)。上家教課讓我有機會可以和學生們一次又一次處理相同的主題和問題,我的學生年齡從六歲橫跨到十六歲。曾經在青少年時期令我困惑的觀念(像是為什麼負負會得正)逐漸變得清楚,我的信心也隨著我更快學習新材料的能力而增加。

我的第一批學生中,有一位是十一歲的害羞男孩安德魯,數學讓他吃足苦頭。上六年級時,安德魯被安排在補救班。他的新老師提醒他的母親不要對兒子抱太多期待,因為他智力上的挑戰無法應付正常班級的數學課。我們開始上家教課的前兩年,逐漸建立安德魯的信心,到了八年級,他已經被轉到數學資優班。我教他到十二年級之後就沒有再聯絡,不過最近他邀我一起吃飯。吃飯時安德魯告訴我,他剛剛得到數學教授的終身教職。

在我小時候,我常常會拿自己和數學競賽表現優異、學習數學新概念輕鬆容易的同學相比較。看著這些同學在學業上遙遙領先,我會自認為自己缺乏學好數學所需的天賦。不過到了三十歲,我驚訝的了解到自己可以很快學習我所教的概念,而且很容易讓像安德魯這樣不曾展現所謂數學「天分」的學生,透過耐心教導而在這個科目上有傑出表現。我開始懷疑,許多人在數學及其他科目所遭遇的困難,根源是在於我們對於天分以及先天的學能階層(academic hierarchies)的既定觀念。

最早從幼兒園開始,孩童們就開始和他們同輩做比較,並辨識哪些人在哪些科目上有天分或比較「聰明」。孩子們如果認定自己沒有天分,往往就不再關心或是努力求表現(就和我唸書時一樣)。這個問題在數學課比其他科目更容易變得嚴重,因為學數學時如果你落後了一步,接下來很可能就無法理解下一步。這是惡性循環:失敗越多次,人們就越加強化了對自己能力的負面看法,學習效率也就更差。我個人認為,先天學能階層的這種觀念遠比先天的天賦能力,讓人們在數學和其他科目上的成就差異更具有決定性的影響。

我到三十歲出頭才回學校研讀數學(從大學部的課程開始),最後因為在這個科目的研究獲得加拿大最高等的後博士學人身分。在此同時,我的劇本也獲得幾項全國的文藝獎,包括一項加拿大總督獎。我並不認為我創造出能和我藝術上和智識上的偶像們相提並論的作品,不過我的經驗讓我相信,我用來訓練自己成為作家和數學家的方法⸺包括刻意練習、模仿、以及精通複雜觀念和提升想像力的各種策略⸺能幫助人們改進他們在藝術和科學的能力。

我在攻讀數學學位時,我常會想,在我發現普拉絲書信集的那天晚上,如果我在書架上選擇的是另一個本書,我的人生會是怎麼樣。我很慶幸自己重拾孩提時代創造和發現新事物的熱情,也慶幸自己的父母和家人對我追尋自我熱情的鼓勵。看著我的學生們對數學更加投入也更有成就,我開始認為我也應該幫助對自我能力喪失信心的人們,讓他們也能夠重拾信心,並保有他們的好奇心與求知慾。

在我讀博士班的最後一年,我說服幾個朋友在我家公寓裡一起開辦名為JUMP Math(全名Junior Undiscovered Math Prodigies,「未發掘的少年數學天才」)的免費課後補習課程。二十年之後,在北美地區有二十萬名學生和教學者使用JUMP 做主要的數學教材,這個課程也擴展到歐洲和南美。它課程方法的發展過程參考知名認知科學家、心理學家和教育研究者的研究,其中許多人在這本書中你會看到。這些方法易於理解和應用,同時它們會強化對自己能力的信心,而不是指定到你特定的技能層級。它可以提供大人們協助孩童更有效學習任何科目,或是運用它來自我教育、追尋人生的新道路,就像我一樣。

在我介紹這些方法和支持這些方法的研究之前,我會先仔細審查一些關於智力和天分的迷思,這些迷思影響我們智能的充分發展,也給我們的社會帶來額外的問題。因為人們很難想像他們在學校時有學習困難的科目也能變得拿手,也很難想像一般人智力所能達到的成就、或是理解當我們無法依據人們潛能提供教育時對我們社會造成的嚴重損失。這種想像力上的困難,讓許多人不由自主陷入挫折與錯失機會的循環之中:要跳脫這種循環,我們必須重新檢視關於究竟何謂所有人「平等」,或是人生機會均等的最基本觀念。

節錄自:〈導言〉學習遲緩者

名人導讀

推薦序

數學教育的平權之書 ◎賴以威

這本書理論上是一本講數學教育的工具書,但閱讀過程中,我更覺得作者約翰.麥登的重點是「倡議平權」。說起平權,大家一定不陌生,畢竟這是台灣社會近年來相當積極討論的議題。麥登試圖協助、保護的又是哪一個弱勢群體呢?

答案是,被認為沒有數學天分的那群人。

這群人沒有像性別那樣很容易一望而知的外表特徵,但仔細回想,我們從小的學習過程中就有這麼簡單到有些暴力的二分法:有數學天分的人,和沒數學天分的人。前者就是那些上課聽一聽,例題習題做一下就能考很好的同學,再誇張一點就是老師上課舉例,三歲幫爸爸算數,小學時自行發明等差級數公式的天才數學家。彷彿數學就像音樂一樣,只有那些具天賦的天之驕子才能學好。

這個曾經被許多人視為百分之百正確的道理,如今已經遭受到許多研究的質疑。我很喜歡書中作者的一段比喻:即使是西元前四百年最開明的思想家也認定女性不如男性,認定奴隸制度對奴隸和奴隸主同樣是好事。亞里士多德的說法可能有點讓人寒心,他說有些人天生是主人,而其他人則只適合做「活生生的工具」。

因為對這個議題有興趣,我先前讀過許多相關文獻,例如史丹福教育系教授波勒提出的「成長型數學思維」,認為比起數學天分,建立正確學習數學的態度,從錯誤中學習,更能幫助每位小孩學好數學;或是「刻板印象威脅」讓人們表現失常,女同學(普遍被誤認為較沒有數學天賦的一群人)只要受到性別暗示,考試分數就會比正常表現來的低;患有「數學焦慮」的那些人,面對數學時,因為恐懼數學,更影響了他的數學表現。

然而,數學成就不完全由天分所決定,甚至後天如學習方式、心態等的影響可能更大。很多時候,認定「數學天賦論」的那些人,會受到彷彿詛咒般的影響,在數學的學習之路上加倍艱難。因為當他們在數學之路上開始遇到挫折時,他只會想,數學好是天生而不是努力來的。換句話說:努力也沒用。他們與正確的學習方式、心態漸行漸遠。

我原本就知道這些道理(第一次知道時非常震驚),因此讀本書時對這個部分並沒有特別印象深刻。但我認為,作者麥登把論述提高到另一個層次:他認為,這群被認為沒有數學天分的人,其實是受到壓迫的。

那樣的壓迫雖然無形,卻實實在在的影響這群人的生活:因為被認為沒天分,所以對數學的信心、興趣低落,進而影響到學習成果;學得更差後,更確認自己沒天分,陷入惡性循環;從此畏懼數學,對這門學科敬而遠之。

這個影響,小則反應在學校的課業成績,中則是每個階段的升學就業,大則是整個人生。數學其實是一門語言,一門有別於中文、英文、日文更抽象的語言,但當你學會這種語言後,你能更擅於洞察事物的本質以及背後的邏輯規律。數學讓我們在日常生活中除了直覺式的判斷思考外,還能建立起一種有邏輯性、佐以數據分析的精準思考,幫助我們處理那些直覺難以處理的事物。

作者在書中的一段話我非常認同:「我們如今生活的時代裡,即使數字的規模出現極小的變動⸺從金錢借貸的成本、或是某個家用品成分的濃度⸺都可能產生影響到全世界的連鎖效應。這可從最近科學家發現北美和歐洲銷售的化妝品和肥皂所含的的塑膠微粒出現在北極魚類體內得到印證。由於我們的生活越來越受到數字的主宰,加上數字條碼和演算法不間斷的追蹤我們的偏好、啟動我們的裝置、管理我們的交易,我們再也經不起對數學一無所知。」

「我們經不起對數學的一無所知」,從這個觀點來看,那些因為小時候幾次數學沒考好,就被群體氛圍(有時候可能是善意的,想想看你是否曾聽過爸媽安慰小孩「或許你比較擅長語文不是數理」)分類到沒有數學天分的那群人,之後因為再也沒有機會調整學習方式,沒有建立起正確看待數學的態度,所以持續的學不好數學。然後在各方面,有意識或無意識的情況下受到壓迫。

透過作者的類比,我才真確感受到這個問題的嚴重性。換個角度來說,我們的數學教育不只是要教會大家數學,而是要維持平等,讓每個人都有機會能學好數學。在這個科技、資訊、數據當道的時代,要確保每一位小孩長大後,都能公平的擁有處理數據、邏輯思考的能力。

作者的平權工具,就是他發明的數學教材JUMP,這套教材很細緻的將數學的觀念一一拆解,循序漸進的引導學生認識每一個觀念。知識的高度結構化是數學的優點也是缺點。優點在於你很清楚知道要攀爬到最高的知識點之前,得先具備那些知識。缺點是,你會很清楚看到這條路有多漫長,而且不會就是不會,面對數學我們無法含糊帶過。JUMP 教材的精神,就是一次一步,讓學生循序爬上數學知識的高塔。從精神與目前的推廣成效看來,我相信這套教材有一定的用處,也絕對能幫助到許多人。不過,深入了解教材,我想是老師跟父母另外比較感興趣的。

這本書的價值遠不止於此。作者曾經客串經典電影《心靈捕手》,說了一段或許觀眾不曾留意,但非常重要的台詞:

研究生湯姆:「大部分人從沒有機會知道自己能夠有多聰明。他們沒有找到相信他們的老師。他們誤以為是自己太笨。」

我希望過五年、十年後,這個社會上對數學教育的主流聲音會有所改變,當人們看到一位小孩數學考不好時,不會再說「沒關係,你可能比較適合文史」,而是會告訴他:

「這個觀念我以前也犯過錯,不過後來搞懂了,讓我們一起來看看你哪裡沒想清楚吧。」

名人推薦

林怡辰 (彰化縣原斗國小教師)

洪進益 (澎湖縣石泉國小教師、教育部師鐸獎得主)

洪萬生 (臺灣數學史教育學會理事長)

陳宏賓 (中興大學應數系助理教授、UniMath創辦人)

陳玟樺 (作家、新北市清水高中教師)

賴以威 (數感實驗室共同創辦人、臺師大電機系助理教授)

──同聲推薦

「數學能力與生俱來,本書作者運用溫暖的現身說法,協助我們「重新開機」。」──洪萬生/台灣數學史教育學會理事長

「麥登提出精彩而具說服力的理念,說明人人都可學會數學,無需仰仗神奇名師;數學能力的更加普及則是打破社會不平等的關鍵。」──丹尼爾.H.威靈漢,維吉尼亞大學心理學教授,《學生為什麼不喜歡上學?》作者

「約翰.麥登可說是加拿大的數學良心。他不僅知道每個孩子都有精通實用數學的能力,並且持續用他傑出、實事求是的(數學)課程做出示範。」──安德魯.尼基佛盧克,加拿大總督文學獎得主《破壞者》作者

「約翰.麥登以熱情和深切的責任感寫下此書。」──《溫尼伯自由報》

數學之前人人平等:我們都有數學天分,只缺正確的開導和信心
All Things Being Equal:Why Math Is the Key to a Better World
作者:約翰.麥登( John Mighton)
譯者:謝樹寬
出版社:遠流出版事業股份有限公司
出版日期:2020-05-27
ISBN:9789573287858
定價:360元
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