作者序 寶藏無限大 一切「從零講起」

★【Part I 日常生活中隱藏的邏輯】

◎從已知推算未知的「茶壺原理」

．「飲水思源」找解答

．輕鬆倒推薪水、存款或預算

．從綿延不絕的兔寶寶到費氏數列

．按高矮排列

．誰是海盜船上的幸運兒？

．文學中的茶壺原理——頂真格

◎最公平的分配法

．從切蛋糕到世界和平

．公平百百種，你選哪一種？

．滿足的公平

．沒有妒忌的公平

．各得其所的公平

．Sperner定理

．各得其所可能嗎？

◎預測群蟬亂舞的年份

．羽化登仙 遺世獨立

．冰河時期氣溫大巨變

．被打亂的生命週期

．在特定年份對撞的「質數蟬」

◎「尋找千里馬」的法則？

．慧眼識「書豪」

．從黃金比例找俊男美女

◎誰是美國職棒聯盟的潛力股？

．尋找明日之星——打擊手篇

．尋找明日之星——投手篇

．量化指標與MVP

◎《魔球》的啟示：打破慣性，締造傳奇

．球員出身的總經理

．力抗傳統的新思維

．電腦怪咖的分析

．用數據締造20連勝

◎科技時代的壓縮邏輯

★【Part II 魔術中的數學邏輯】

◎魔術和數學

◎條條道路通羅馬

◎漢蒙洗牌法

．三娘教子

．陰陽調和

．逢黑必反

． 一言驚醒夢中人

◎排列的秘密

．皇家同花順

．五中取一

．五子登科

．五子登科的延伸

．文學上相似的形式

◎吉爾布雷斯的梅花間竹式洗牌法

．吉爾布雷斯原則

．誠實和謊言

．五神

．第四十七頁

◎蒙日洗牌

．同性相吸

．Ace在哪裡

．慶祝婦女節

◎股票紅利

★ 【Part III 識破博奕背後的數學邏輯】

◎機率是什麼？

．用過去的經驗估算未來

◎從賠率算出的必勝賭盤

．穩賺不賠的運動博彩下注法

．賭客的必勝方程式

．馬塲為何能穩贏不賠？

◎獨立事件的機率

．如何預測同事的服裝搭配？

．飛機上有炸彈的機率

．為什麼賭客愛玩擲骰子遊戲？

．下一張黑白撲克牌是……

．老二是男孩的機率有多大？

．何先生的三門猜獎習題

．先釐清問題，再善用已知

◎受事件先後影響的機率

．互有影響的褲子襯衫搭配機率

．用貝氏定律算出球員被交易的機率

．罹患乳癌的機率

．血液檢查增加準確度

．先做血液檢查

．看不看醫生

．電子郵件過濾器

◎看穿賭博的勝敗邏輯

．為什麼賭客一定會破產

．賭客的加碼策略

．靠算牌打敗賭場

．如何獨得樂透彩

．預測輪盤的贏錢數

★【Part IV 來練數學邏輯基本功】

◎正整數與自然數

◎負整數

◎整數

◎有理數與無理數

◎代數數與超越數

◎實數和虛數

◎複數

◎規矩數

◎無窮大

◎郵票面額的配對

．一個有趣的例子

．一個古老的例子

◎畢氏定理

．幾何的觀點

．再談無理數

◎費瑪最後的定理

．法國數學家傑曼

．谷山豐、志村五郎的猜想

．懷爾斯的貢獻

★從已知推算未知的「茶壺原理」

在數學裡，有一個有用且常用的解題法，叫做「茶壺原理」（Tea Kettle Principle），這可和清末明初國學大師辜鴻銘先生的「茶壺理論」無任何關聯。話說有一位工程師和一位數學家，同時被要求解答下列問題：

問題A：在廚房地板上，有一個空的茶壺，請提供一個方法，煮一壺開水來泡茶。

工程師回答：把茶壺提起來，打開水龍頭裝滿水，將茶壺放在爐子上，點燃爐火，靜待水被燒開；數學家說：我的方法也一樣。

接著，他們被要求解答下列問題：

問題B：爐子上放著一個茶壺，裡面裝滿水，請提供一個方法，煮一壺開水來泡茶。

工程師回答說：點燃爐火，靜待水被燒開；數學家說：把茶壺從爐子上提起來，把茶壺裡的水倒光，再把空的茶壺放在廚房地板上，於是，問題B就化成已經知道怎樣解答的問題A了。

這雖然是一個笑話，但是把待解答的問題化成已經解答的問題，卻是在數學、科學裡，甚至在生活裡，有用而且常用的方法，這就是「茶壺原理」。

★ 從數學家的思維出發

讓我再多說一點，和上述笑話類似的例子還有很多。比方，林先生有一位從香港來的朋友，打電話問林先生如何從臺北火車站到101大樓？林先生詳細地一步一步為他說明如何坐捷運、轉公車、再走路，果然一切順利。第二天，香港朋友又打電話問他如何從東區誠品到101大樓，林先生說您就坐計程車從東區誠品到臺北火車站，在臺北火車站再按照我昨天告訴您那條路線走就對了。這就是把一道待解答的問題，化成一道已經知道如何解答的問題，關於箇中奧妙，我就不用再多費唇舌了，這就是「茶壺原理」。

有人問一位老先生：「您今年貴庚了？」老先生說：「我40歲時，我的小兒子出生。」那人繼續問：「那麼您小兒子今年幾歲了？」老先生答：「他比鄰居的張博士小5歲。」「那麼張博士今年幾歲了？」老先生答：「張先生屬狗，剛從美國拿了博士學位回來。」假設今年是2012年，屬狗的是78、66、54、42、30、18或者6歲，所以，張博士應該是30歲，老先生的小兒子是25歲，老先生是25＋40＝65歲。

在這個問題當中，我們先把老先生是幾歲的問題，化成他小兒子是幾歲的問題，再把他小兒子是幾歲的問題，化成張博士是幾歲的問題。當我們找出來張博士是幾歲，就可以解答小兒子是幾歲，然後就可解答老先生是幾歲了。

上述例子指出應用「茶壺原理」的兩個要點：第一、我們先把一道待解答的問題，化成另一道待解答的問題；第二、最終我們要把一道待解答的問題，化成另一道已經知道如何解答的問題。這兩個要點也可以用兩句成語來描述：第一、前事不忘，後事之師；第二、飲水思源，可不是貼切得當嗎？

★ 文學中的茶壺原理--頂真格

談到這裡，相信大家對數學裡的「茶壺原理」有相當的瞭解和領悟。你知道嗎？其實文學家也不讓數學家專美於前；在文學修辭中，兩個句子裡，上一句結尾的幾個字，用來做為下一句開始的幾個字，就叫做「頂真格」，如林語堂先生所說的：「宅中有園，園中有屋，屋中有院，院中有樹，樹上見天，天中有月，不亦快哉！」

頂真格的句子，具有橋樑、和諧、緊湊、趣味四種特色，可以說是文學裡的「茶壺原理」。

★ 最公平的分配法

哥哥和弟弟放學回家，媽媽剛烤好一個蛋糕，就拿出刀來，把蛋糕切成兩塊，一塊給哥哥，一塊給弟弟。哥哥嘀咕著，埋怨媽媽偏心，給弟弟那塊比較大；弟弟也嘀咕著，埋怨媽媽偏心，給哥哥那塊比較大。媽媽說，那就讓你們自己來選吧！哥哥先選，弟弟馬上抗議，哥哥肯定把比較大那一塊先選走了。到底該怎麼做，才能皆大歡喜？

媽媽想出了一個主意：先請哥哥把蛋糕切成兩塊，然後再讓弟弟選。這一來，因為哥哥是負責把蛋糕分成兩等分的，他會認為他拿到的肯定是整塊蛋糕的二分之一，因此不會有任何妒忌和埋怨；同時，因為弟弟有優先選擇的機會，他也會認為自己拿到整個蛋糕的二分之一或以上，因此也不會有任何妒忌和埋怨。

★ 何先生的三門猜獎習題

美國曾有一個熱門電視猜獎節目Let's Make a Deal，主持人蒙提．霍爾（Monty Hall，以下簡稱何先生）常在節目中對參加猜獎的觀眾提出非常有名的「三門習題」（Monty Hall problem）。節目中，舞臺上會出現三道門，一道門後面是大獎，一台賓士汽車，另外兩道門後面是安慰獎，一台腳踏車，何先生在現場選出一位觀眾，讓他在三道門裡選一道，選定之後，就可以得到門後的獎品。

當觀眾選了一道門之後，譬如第一道門，在打開這道門之前，何先生會玩一個花樣，他會打開第二道門，在第二道門後的是一台腳踏車，這時，何先生就問這位觀眾：「您已經選了第一道門，我也讓您看到第二道門後是一台腳踏車，現在我提供您一個機會，您可以放棄第一道門，改選第三道門，請問您要不要改選？」

這個問題聽起來簡單，卻引起許多爭議，包括許多數學教授在內都紛紛加入討論，有人說一定要改選，有人說改選不改選沒有差別。

之所以會有爭議，原因是大家沒有弄清楚一個前提：何先生自己知不知道賓士汽車是在哪一道門後。在何先生是知道的這個前提之下，如果賓士汽車是在第一道門的後面，何先生就隨便打開第二道或者第三道門，讓這位觀眾看到一台腳踏車，如果觀眾改選，就吃虧了。但如果賓士汽車是在第二道門後面，何先生會打開第三道門，如果賓士汽車在第三道門後面，何先生會打門第二道門，在這兩種情形之下，改選就會得到大獎了，所以結論是採用不改選的策略的話，得到大獎的機率是1/3，採用改選的策略的話，得到大獎的機率是2/3。

這個答案可以從另外一個觀點來解釋，如果採用改選的策略，這位觀眾等於是在三道門裡選了兩道門，譬如說，這位觀眾猜想大獎是在第二道門或者第三道門後面，他就先選第一道門，等何先生開了一道背後是一台腳踏車的門之後，他就改選，那麼只要大獎是在第二道或者第三道門的後面，他都會得到大獎。

但是，在何先生根本不知道賓士汽車是在那一道門後面的前提之下，當這位觀眾選了第一道門之後，何先生就打開第二道門，如果賓士汽車在第二道門後面，何先生就趁勢收場，「您選錯門了，遊戲結束」；如果何先生打開第二道門，看到的是一台破爛的腳踏車，那麼賓士汽車在第一道門後面和在第三道門後面的機率都是1/2，改選不改選沒有差別。

從這幾個例子，我們得到一個教訓：必須把題目的含意弄清楚，以及正確地善用已知的部份資訊。有時直覺會告訴我們正確的答案，但是數學上的計算才是最可靠的。

★ 尋找MLB明日之星——打擊手篇

評估一個運動員的運動潛力的途徑之一，就是從他過去的表現來作預測，尤其是像籃球、足球、棒球這些在美國深受球迷喜愛和支持的運動項目，在大學和小聯盟裡，比賽的規則和規模都已經和大聯盟差不多一致，因此也都已經有充分的機會觀察一個運動員的表現。從這些紀錄的數據來預測一個運動員未來的表現，不但是順理成章，而且也是行之多年的事。不過到了近三十年，大家才開始深入廣泛地搜集、分析和應用這些數據，這其中最重要的一個問題，就是在這許多的數據裡，哪些數據和一個運員未來的表現最有關聯性？

在舉一些棒球比賽的實例之前，讓我交代兩件事情，第一、已有專家指出，作為未來表現的預測，體能測試的結果，往往比不上過去表現的結果可靠。第二、在較為深入瞭解一個運動員的紀錄之後，我們不但對他未來的成就可以有比較精準的預測，而且對他過去的貢獻也可以有比較精準的評估。

在棒球比賽裡，一個球員攻擊能力的一個重要指標是安打（Hit），那就是把球打出去，安全上壘。以美國職業棒球聯盟裡的大聯盟一個球季打162場球來說，一個球員能夠有240次以上的的安打就是非常出色了，目前歷史最高的紀錄是鈴木一朗保持的262次安打，一個球員能夠在大聯盟打15到20年，得到3000次以上安打以上的不到30個人，在4000次以上的只有兩個人，Pete Rose和Ty Cobb。可是在一場球賽，尤其是在162場球賽裡，一個球員上場打擊次數是不同的，這與教練排列打擊順序有關，排列順序在前面的，在一場比賽裡可能會多一次打擊的機會，也和在比賽裡整球隊上壘的情形有關，安打數被打擊的次數除，叫做打擊率（Batting Average），通常30%的打擊率就是相當好了。

安打只是籠統地計算把球打出去的次數，清楚一點來區分，安打包括：一壘安打single（把球打出去登上一壘）、二壘安打double（安全登上二壘）、三壘安打triple（安全登上三壘）、全壘打home run（安全返回本壘得分）。因此，一個比安打數精準的算法是壘打數（Total Bases），那就是1×一壘安打數＋2×二壘安打數＋3×三壘安打數＋4×全壘打數，用壘打數來算，一季能夠打到400以上就非常不容易了，歷史上最高的紀錄是Babe Ruth的457。壘打數被打擊的次數除，叫做長打率（Slugging Percentage），長打率能夠到50%就相當不錯，到80%就是登峰造極了。

我們就可以看到，不同的統計數據是有不同的含義的。在棒球比賽裡，得分靠打擊，因此安打數（Hits）、打擊率（Batting Average）、壘打數（Total Bases）和長打率（Slugging Percentage）都可以說是重要的指標。但是得分靠打擊這句話，還是說得不夠周全，得分靠上壘，才是比較周全的說法。打擊手除了安打之外，還有別的方法上壘，那就是四壞球保送（Base On Balls）和被投球觸身（Hit by a Pitch）。首先，保送和被投球觸身，不但和安打一樣讓打擊手上壘，而且也和安打一樣，讓當時已經在一壘，甚至在二、三壘上的隊友移壘前進。更何況在這個情形之下，隊友移壘前進，沒有在跑壘時被截殺的風險。有人會說保送和被投球觸身是投手技術不好，而不該是打擊手的功勞，這個說法並不盡然，一個好的打擊手有比較精準的判斷好球和壞球的能力，而且更何況面對一個好的打擊手，投手會特別小心甚至緊張，儘量想把球投到打擊區的邊緣和角落，也因此增加了投出壞球的機率。按照這些觀察，我們就用上壘率（On Base Percentage）來作為對打擊率的一個微調。上壘率把安打、保送和被投球觸身的次數加起來做為分子，把安打、保送、投球觸身和犧牲打的次數加起來做為分母，紀錄裡一季最高的上壘率是60%，能夠到達50%就已經是出類拔萃了，按照公式來算，在絕大多數的情形之下，一個球員的上壘率往往大於他的打擊率，有興趣的讀者，動手去把兩個公式比對一下就瞭解了。

讓我提醒大家，不要小看四壞球保送這一回事，前面說過，以單季的紀錄來算，安打數在240以上就算是非常傑出了，但是同時四壞球保送的數目，一季最高的紀錄都在100以上，一個有趣的數據是Barry Bonds在2004年保送共232次，那是歷史上最高的紀錄，同一年他的安打數是210次，2004年可以說是他21年大聯盟生涯中，表現最亮麗的一年，他敲出45支全壘打，也是國家聯盟的MVP。

講到這裡，我相信許多不常看棒球的讀者也看出頭緒來了，因此，一個問題是，既然上壘率是打擊率的微調，那麼把上壘率和長打率加起來，是不是也兼顧了打擊手長打的能力了呢？是的，這個數目就叫做「上壘加長打率」，又稱「整體攻擊指數」（On-base Plus Slugging，OPS），專家把這個數目分成四等，90%以上是傑出，83%以上是不錯，70~76%是平均，56%以下就是爛透了。

上面講的指標，重點是球員打擊和保送的數據，當然這些數據除了呈現他自己上壘，因而接下來得分的機會之外，也包括了幫助已經上壘的隊友得分的機會。另一個重要的指標就是打點（Runs Batted In，RBI），那是打擊手讓已經上壘的隊友返回本壘得分的數目。有人指出打點除了和打擊手本身打擊的能力有關之外，也和他在打擊順序的位置和在他順序的位置前面的隊友的打擊能力有相當密切的關係，通常在打擊順序排第一、第二的是打擊率高，也就是上壘機會高的打擊手，第三、第四的是長打率高，也因此會是打點高的打擊手，更不要忘記，第一輪打擊之後，排在第一、第二的打擊手前面的是排在第八、第九，通常是打擊率相當低的打擊手，因此他們對排在第一、第二的打擊手的打點的助力也比較小。按照這個觀察而調整的指標是得分總數（Runs Produced），意思是一個運動員製造出來的分數，計算的公式是他得分的數目加上他打點的數目減去他全壘打的數目，得分的數目反映了他打擊的能力和他的隊友幫助他得分的能力，打點的數目反映了他幫助他的隊友得分的能力，減去全壘打的數目是因為一個全壘打是重複算在得分的數目和打點的數目裡。

從進攻的觀點來看，盜壘（steal）成功的次數和盜壘的成功率也是重要的指標。首先，盜壘成功就是不靠隊友打擊的助力而前進，但是反過來，盜壘失敗也可能是消耗了一個可能得分的機會，盜壘成功的次數多，當然表示一個球員有好的判斷力和跑壘的速度，至於盜壘成功率是盜壘成功的次數被盜壘成功的次數加上盜壘失敗的次數除，最好的盜壘成功率是在80%以上。

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天啊！生活中究竟隱藏多少邏輯？！

你必須跳脫慣性思維，才能破解花招！！

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中研院士劉炯朗以親切的語法，引領思考的階梯，以深入淺出的方式，逐步破解各類日常迷思，從切蛋糕、排身高、電視猜獎遊戲、魔術洗牌玄機、俊男美女的黃金比例到輪盤、賭馬輸贏的機率，乃至預測樂透中獎號碼、運動賽事勝負輸贏……，都能逐一破解，讓邏輯和數學不再深奧，生活變得更有趣，是老少咸宜的科普讀物。

你知道嗎？生活離不開邏輯……

★ 蛋糕怎麼切才能皆大歡喜？

★ 一天可以學會五套魔術嗎？

★ 誰是MLB冠軍隊？

★ 林書豪被交易的機率有多高？

★ 怎樣才能獨得樂透彩？

★ 百萬轎車就在門後面，我該怎麼選？

★ 骰子、輪盤和賭馬的必勝賭盤怎麼下？

★ 算牌，我也可以嗎？

★ 飛機上會有炸彈嗎？

★ 罹癌機率……不會吧！

劉炯朗

麻省理工學院電機博士

曾當選美國電子電機工程師學會院士、美國計算機協會(ACM)傑出會員。2011年榮獲卡夫曼獎(Phil Kaufman Award)，該獎項被認為是電子設計自動化界的諾貝爾獎。

曾任教於麻省理工學院及伊利諾大學香檳校區，1998年回臺擔任國立清華大學校長，作育英才無數；並以資訊工程之國際學術聲望，於2000年獲選為中央研究院院士，是國際上聲譽卓著的科學家、教育家。

近年悠遊於寫作、廣播、演講等領域，以幽默的談吐及豐富的學養談科學、文學、歷史、科技發展等各領域的知識學問，深得大眾喜愛。

◎著作

▲《從輪子到諾貝爾：學校沒教的創新發明》(2014)

▲《劉炯朗讀三字經》(2013)

▲《學校沒教的邏輯課》(2012)

▲《國文課沒教的事》(2011)

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〈寶藏無限大 一切「從零講起〉 劉炯朗

從2005年秋天起，我在新竹IC之音廣播電台（FM97.5）主持一個獨白式的談話節目「我愛談天你愛笑」，內容由時報文化出版公司整理出版，這本書是這個系列的第九本。

常有人問我節目內容是怎樣選擇的，那的的確確是我天馬行空、隨心所欲地找一些自己有興趣的題目，盡量學習、探索和思考，並且以達到「敢站在學生面前大聲講」的理解程度作為目標。坦白說，我花相當多的時間來準備這個節目，因為其中很多是我從來沒涉獵過的東西。

對於我的第九本書，可能有人會說：「這本書講了很多數學，看起來似乎比較難懂。」我的「遁詞」和我其他的書一樣：我講的都是有趣的故事，天文、物理、經濟、法律、詩詞、流行歌曲，一律兼收並蓄、細大不捐。

其實，數學有許多觀念都是相當直覺的，尤其在廣播節目裡，沒有黑板，沒有投影片，所以我也以「光聽就能懂」為原則，書中的方程式和圖片都是後來加上去的。

無論節目或書的內容，都沒有特定對象，不過我都嘗試從「零」講起，不預設任何門檻或背景。相信這些內容，從剛剛參加國中會考的「毛頭小子」到「老嫗老翁」都能夠解讀。

我曾經用一個譬喻來闡述教育的三個「面向」(容我強調是「面向」，不是「層次」)。有一個寶藏，裡面有許多美麗、珍貴的珠寶，老師牽著學生的手一步步向寶藏走去，這就是「灌輸」（instruction）；老師也可以給學生一張地圖，讓他按著地圖往寶藏走去，這就是「引導」（introduction）；又或者老師也可為學生描述這些珠寶如何美麗、珍貴，讓學生自己去找方向，以自助旅行的方式，走到寶藏的所在，這就是「激發」（inspiration）。我衷心希望這本書能「激發」出讀者對數學裡、數學外一些事和物的興趣。

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